teorema de Fermat: octubre 2011

El estableció que en un triangulo rectángulo, el área del cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de las áreas del cuadrado de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes $Descripción: a \,$ y $Descripción: b \,$ , y la medida de la hipotenusa es $Descripción: c \,$ , se establece que:

(1) $c^2 = b^2 + a^2 \,$

De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:

**Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas**
$a = +\sqrt {c^2 - b^2}$	$b= +\sqrt{c^2-a^2}$	$c = +\sqrt {a^2 + b^2}$

Demostraciones supuestas de Pitágoras

Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema.

Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.

Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.

Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.

De la semejanza entre ABC y AHC:

y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes

$\frac {b}{b'}=\frac {c}{b}$

$b^2\ =\ b'c$

De la semejanza entre ABC y BHC:

$\frac {a}{a'}=\frac {c}{a}$

$a^2\ =\ a'c$

Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:

$a^2\ +\ b^2 =a'c\ +\ b'c\ =\ c\left (a'+b'\right )$

Pero $\left (a'+b'\right )=\ c$ , por lo que finalmente resulta:

$a^2\ +\ b^2 =c^2$

La relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitágoras para demostrar su teorema

Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.

Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:

$\frac {r}{u}=\frac {s}{v} = r$

siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:

$S_{PQR}\ =\ \frac {1}{2} \left ( rs \right )$

$S_{PST}\ =\ \frac {1}{2} \left ( uv \right )$

obtenemos después de simplificar que:

$\frac {S_{PQR}}{S_{PST}}=\frac {rs}{uv} = \frac {r}{u} \cdot \frac {s}{v}$

pero siendo $\frac {r}{u}=\frac {s}{v} = r$ la razón de semejanza, está claro que:

$\frac {S_{PQR}}{S_{PST}}= \left (\frac {r}{u} \right )^2 = \left ( \frac {s}{v} \right ) ^2$

Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".

Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:

$\frac {S_{ACH}}{S_{BCH}}= \left (\frac {b}{a} \right )^2$

que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:

$\frac {S_{ACH}} {b^2} = \frac {S_{BCH}} {a^2} = \frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 }$ (I)

y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:

$\frac {S_{ACH}}{S_{ABC}}= \left (\frac {b}{c} \right )^2$

$\frac {S_{ACH}}{b^2} = \frac {S_{ABC}} {c^2}$

pero según (I) $\frac {S_{ACH}} {b^2} = \frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 }$ , así que:

$\frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 } = \frac {S_{ABC}} {c^2}$

y por lo tanto:

$b^2 \ +\ a^2 \ = \ c^2$

quedando demostrado el teorema de Pitágoras.

Los cuadrados compuestos en el centro y a la derecha tienen áreas equivalentes. Quitándoles los triángulos el teorema de Pitágoras queda demostrado.

Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica del teorema.

Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados a, b, c, y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se construyen dos cuadrados diferentes:

Uno de ellos –centro- está formado por los cuadrados de los catetos, más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.
El otro cuadrado –derecha- lo conforman los mismos cuatro triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.

Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el área del cuadrado gris (

c 2

) equivale a la de los cuadrados amarillo y azul (

b 2 + a 2

), habiéndose demostrado el teorema de Pitágoras.

Ejemplos

5²= 4² +3²
13 ²= 12² +5²
17²= 5² +8²
34²= 30² +16²
50²= 48² +14²
10²= 8² +6²
15² =12² +9²
26² =24² +10²
40² =32² +24²
74² =70² +24²

Se comentan las ampliaciones de las conjeturas usadas para la demostración del

teorema de Fermant, como la de Taniyama - Shimura y la de Langlands. Parcialmente,
estas conjeturas, fueron demostradas por Wiles al tratar el teorema de Fermant. Se dan
ejemplos simples.

Conjetura de Taniyama - Shimura (T-S) : En un trabajo anterior [1] donde explicamos
algunos elementos de la demostración del Teorema de Fermat por Wiles, ya introducimos
algo sobre la conjetura de Taniyama - Shimura (T-S). Esta conjetura dice que todas las
curvas elípticas son modulares. Una curva elíptica tiene la forma.

y2 = x3 + Ax2 + Bx + C

donde las constantes A, B y C y las variables toman valores sobre los números reales. En
la teoría de números se buscan las soluciones racionales. La conjetura T-S es que estas
soluciones se obtienen de las funciones modulares, que en algunos casos son inversas a las
funciones elípticas [1]. Pero que en general son invariantes para una transformación del
tipo z' = az + b/cz + d, z, z' números complejos o sea que tienen dos períodos en el plano
complejo. Daremos un ejemplo de como un método geométrico puede usarse para un
problema de la teoría de números. La ecuación:
x2 + y2 = z2

es un caso especial de la (1), puesto que si dividimos por z2 y llamando de nuevo a los
cociente x e y x e z y se obtiene:
z z

x 2 + z 2 = 1

Si buscamos las soluciones enteras de la ecuación (2) es lo mismo que buscar las soluciones
racionales de (3). Conocemos una solución racional la (x = 1, y = o) mostraremos como de
allí se pueden deducir otras, en este caso todas las soluciones. La recta que pasa por (1,0)
tiene la ecuación

teorema de Fermat

viernes, 21 de octubre de 2011

Teorema de Pitagoras (Trios)

Demostraciones supuestas de Pitágoras

Demostración del Teorema de Wiles

Teorema de Fermat